Questões Matemática Geometria Espacial
(UNIFRA INV/2003) Um cone regular reto tem raio da base igual a e a altura igual ao val...
Responda: (UNIFRA INV/2003) Um cone regular reto tem raio da base igual a e a altura igual ao valor da diagonal de um cubo cuja área total é 144 m², então o volume, em metros cúbicos, desse cone é

Por David Castilho em 05/01/2025 01:13:04🎓 Equipe Gabarite
Para resolver essa questão, vamos seguir os seguintes passos:
1. Calcular a aresta do cubo:
A área total de um cubo é dada pela fórmula:
\[6a^2 = 144\]
Onde \(a\) é a aresta do cubo. Vamos resolver essa equação:
\[a^2 = \frac{144}{6}\]
\[a^2 = 24\]
\[a = \sqrt{24}\]
\[a = 2\sqrt{6}\]
2. Calcular a diagonal do cubo:
A diagonal de um cubo pode ser calculada pela fórmula:
\[d = a\sqrt{3}\]
Substituindo o valor de \(a\), temos:
\[d = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}\]
\[d = 2\sqrt{18}\]
\[d = 6\sqrt{2}\]
3. Calcular o raio do cone:
Sabemos que o raio do cone é igual a \(e\), então \(e = 6\sqrt{2}\).
4. Calcular o volume do cone:
O volume de um cone é dado pela fórmula:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot e^2 \cdot h\]
Onde \(e\) é o raio da base do cone e \(h\) é a altura do cone.
Substituindo os valores de \(e\) e \(h\), temos:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot 6\sqrt{2}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 72 \cdot 6\sqrt{2}\]
\[V = 144\pi\sqrt{2}\]
Portanto, o volume do cone é de 144π√2 metros cúbicos.
Gabarito: c) 144π√2
1. Calcular a aresta do cubo:
A área total de um cubo é dada pela fórmula:
\[6a^2 = 144\]
Onde \(a\) é a aresta do cubo. Vamos resolver essa equação:
\[a^2 = \frac{144}{6}\]
\[a^2 = 24\]
\[a = \sqrt{24}\]
\[a = 2\sqrt{6}\]
2. Calcular a diagonal do cubo:
A diagonal de um cubo pode ser calculada pela fórmula:
\[d = a\sqrt{3}\]
Substituindo o valor de \(a\), temos:
\[d = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}\]
\[d = 2\sqrt{18}\]
\[d = 6\sqrt{2}\]
3. Calcular o raio do cone:
Sabemos que o raio do cone é igual a \(e\), então \(e = 6\sqrt{2}\).
4. Calcular o volume do cone:
O volume de um cone é dado pela fórmula:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot e^2 \cdot h\]
Onde \(e\) é o raio da base do cone e \(h\) é a altura do cone.
Substituindo os valores de \(e\) e \(h\), temos:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot 6\sqrt{2}\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 72 \cdot 6\sqrt{2}\]
\[V = 144\pi\sqrt{2}\]
Portanto, o volume do cone é de 144π√2 metros cúbicos.
Gabarito: c) 144π√2