(Mackenzie-SP) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possíveis valores de n é:

Para resolver essa questão, vamos começar substituindo \( f(x) = mx + n \) na equação \( f(f(x)) = 4x + 9 \):

\( f(f(x)) = f(mx + n) = m(mx + n) + n = m^2x + mn + n \)

Dado que \( f(f(x)) = 4x + 9 \), podemos igualar as duas expressões:

\( m^2x + mn + n = 4x + 9 \)

Agora, vamos comparar os coeficientes de x em ambos os lados da equação:

\( m^2x = 4x \)

Isso implica que \( m^2 = 4 \), logo \( m = 2 \) ou \( m = -2 \).

Agora, substituímos \( m = 2 \) e \( m = -2 \) na equação original \( f(x) = mx + n \) para encontrar os valores de n correspondentes:

1. Para \( m = 2 \):
\( f(x) = 2x + n \)
Substituímos \( f(x) \) na equação \( f(f(x)) = 4x + 9 \):
\( f(f(x)) = f(2x + n) = 2(2x + n) + n = 4x + 9 \)
Simplificando, obtemos:
\( 4x + 2n + n = 4x + 9 \)
\( 3n = 9 \)
\( n = 3 \)

2. Para \( m = -2 \):
\( f(x) = -2x + n \)
Substituímos \( f(x) \) na equação \( f(f(x)) = 4x + 9 \):
\( f(f(x)) = f(-2x + n) = -2(-2x + n) + n = 4x + 9 \)
Simplificando, obtemos:
\( 4x - 2n + n = 4x + 9 \)
\( -n = 9 \)
\( n = -9 \)

Portanto, a soma dos possíveis valores de n é \( 3 + (-9) = -6 \).

Gabarito: b) -6